Представьте, что вам понравилась компьютерная игра. И вы играли в неё несколько дней без перерыва. А потом пригласил в игру двоих друзей. Им игра тоже понравилась, но… возникла проблема!

Нет-нет, не такая. Мирная проблема. Вы-то уже достигли пятого уровня, а у друзей персонажи только первого уровня, слабенькие! Как им вас догнать, чтобы играть втроём?

Вы, конечно, можете удалить своего старого игрового персонажа, и начать игру заново. Или можете перестать играть и подождать, пока друзья доберутся до вашего уровня. Всё верно. Но… ску-у-учно! Однако есть и третий вариант – математический.

(В конце концов, любая компьютерная игра – это чистая математика. И если хотите научиться создавать видеоигры сами, то советуем с математикой подружиться заранее.)

Итак, чтобы перейти на следующий уровень, игроку в игре нужно набирать очки, то есть опыт, на тайном (непонятном родителям) игровом языке – «экспу». Скажем, за выполнение задания игрок получает сто очков опыта. А для прохода на второй уровень нужно набрать тысячу очков. На третий уровень – ещё тысячу, и так далее.

Такой рост уровня игрока в математике называется «линейным». Простая система, удобная и понятная – но! С ней товарища не догонишь, хоть ты тресни!

А теперь представим себе такой режим прохождения игры: для получения второго уровня игроку нужно набрать тысячу очков. А вот для получения второго – уже две тысячи! Для третьего – четыре тысячи. Для четвёртого – восемь и так далее.

Значит, чтобы перейти с пятого уровня на шестой, вам нужно набрать тридцать две тысячи очков. А друзьям, чтобы «докачаться» с первого уровня до пятого, понадобится 1+2+4+8+16 = тридцать одна тысяча очков! И они очень даже быстро (буквально за день) вас догонят, и дальше вы будете играть вместе на одном уровне!

Такой рост уровня игрока в математике называется (нетрудно догадаться) «нелинейным». Или – «логарифмическим».

Школьная линейка с её сантиметрами и миллиметрами – это линейная шкала:

1 сантиметр – 10 миллиметров. 2 сантиметра – 20 миллиметров. 3 сантиметра – 30 миллиметров. И так далее. А теперь представьте себе, что у нас вот какая причудливая шкала:

1 сантиметр – 20 миллиметров, 2 сантиметра – 40 миллиметров, 3 сантиметра – 80!.. Вот это и будет шкала «нелинейная», «логарифмическая».

Вы не представляете, насколько в науке и технике распространены такие вот «нелинейные линейки».

• Скажем, «шкала Рихтера», по которой измеряют силу землетрясений – логарифмическая.
• Шкала громкости звука в децибелах – логарифмическая.
• Яркость звёзд в астрономии – тоже.
• Время выдержки в фотоаппарате – тоже! И так далее, и так далее!

Название «логарифмическая» происходит от слова «логарифм». А что это за зверь? Сейчас расскажем!

Составим таблицу с двумя рядами чисел. В верхней строчке – просто числа от нуля до девяти. А вот во второй – числа «хитрые».
 

Что же в них хитрого? А то, что мы можем умножать их, не умножая !

Скажем, сколько будет восемь умножить на тридцать два, сможете быстро посчитать в уме? А теперь смотрите: в нашей таблице число 8 во второй строке стоит под цифрой 3 в первой строке, а число 32 во второй строке – под цифрой 5 в первой строке, так? Сложим 3 и 5 – сколько получается? Восемь! А теперь – какое число в нашей таблице во второй строке стоит под цифрой 8 в первой строке? Число 256! Всё, вот вам и ответ!

Может, это случайное совпадение? Нет, не совпадение. Повторим опыт – умножим по нашей таблице 16 на 64.

Число 16 – под цифрой 4, число 64 – под цифрой 6. Складываем 4+6, получаем 10. А какое число у нас во второй строке под цифрой 10? Число 1024. Проверяем на калькуляторе – и правда 1024!

Так что это совсем не совпадение, а наоборот – самый настоящий математический закон. Открыли его, кстати, давным давно. И догадались, что с помощью такой вот таблицы (только более подробной, конечно) можно вместо умножения чисел использовать сложение.

«А можно вместо деления по такой волшебной таблице использовать вычитание?» – спросят самые догадливые.

А вы попробуйте. Скажем, разделить 2048 на 128 – сколько будет? 2048 стоит под цифрой 11, а 128 – под цифрой 7.

Сколько будет из одиннадцати вычесть семь? Четыре. Находим число 4 в первой строке, а под ним видим число 16. И это на самом деле правильный ответ!

Понятно, что складывать и вычитать намного проще, чем умножать и делить. Особенно если числа большие и длинные! Причём не только людям – но и компьютерам! (Да-да, бывают такие задачи в математике, физике, технике и вообще в науке, которые даже для решения на самом супербыстром компьютере желательно «упрощать».) А уж как страдали учёные в те времена, когда вообще никаких компьютеров не было! Некоторые вычисления приходилось делать недели и месяцы! Горы исписанной бумаги, вёдра чернил!

Так что же такое «логарифм»? А это как раз число из первой строчки нашей чудо-таблицы!

Мы с вами как говорили? «Число 128 в таблице стоит под номером 7». А математик скажет так: «Число 7 – это логарифм числа 128 по основанию 2».

Английский математик Джон Непер первым в мире составил такие «волшебные таблицы» в 1614 году, в книге, которая так и называлась: «Описание удивительной таблицы логарифмов», по-латыни «Мирифици логаритморум канонис дескрипцио».

В тогдашнем научном мире эта книга произвела настоящий фурор, стала бестселлером! С её помощью считали мореплаватели и строители, военные и купцы, финансисты и инженеры. Вот как об изобретении логарифмов писал знаменитый французский астроном Пьер-Симон Лаплас:

Само название «логарифм» происходит от греческих слов «λόγος» (логос, «разум») и «ἀριθμός» (арифмос, «число») – то есть, в переводе с греческого, «логарифмы» – это «умные числа». А ведь и правда неглупые, а?

Кстати, именно на логарифмах основана работа «деревянного калькулятора», дедушкиной (и прадедушкиной) логарифмической линейки.