Существует тип задач, которые встречаются на олимпиадах, а иногда — на экзаменах. Вот одна из задач такого рода.
Дано 3 сосуда. Первый, обозначим его А, объемом 8 литров вначале полностью заполнен водой. Другие два, пятилитровый (Б) и трехлитровый (В),— пустые. Требуется последовательными переливаниями воды из одного сосуда в другой добиться, чтобы в 5-литровом остался 1 литр воды, а в 3-литровом — 3 литра.
Подобную задачу мне пришлось однажды решать при поступлении в математическую школу. Найденное решение показано в таблице:
Каждая строчка показывает, сколько литров воды находится в каждом из сосудов А, Б, В на данном шаге. Переход от одной строчки к другой соответствует одному переливанию. Например, от начального состояния 0 к состоянию 1 переход получается переливом воды из сосуда А в сосуд В до полного его заполнения. Следующий шаг состоит в переливании воды из В в Б и т. д. до искомого состояния 7.
Позже, уже учась в институте, я вновь столкнулся с этой задачей и заинтересовался: нельзя ли найти какой-нибудь общий метод решения? Ведь стоит изменить объемы сосудов, и все приходится начинать заново, Я стал искать выход и вспомнил, как на одной из лекций по физической химии нам рассказали о замечательных свойствах так называемой диаграммы Гиббса—Розебума. По существу, это обыкновенный равносторонний треугольник, для которого выполняется правило: сумма 3 высот, опущенных из любой точки внутри этого треугольника на его основания, всегда постоянна и равна большой высоте, опущенной из любой его вершины.
Читать дальше »
